Institutional Money, Ausgabe 1 | 2022

wie Van Nieuwerburgh und Veldkamp 2010 in ihrem Aufsatz „Information Acquisition and Underdiversification“ erwähnten. Eine sparsame Fondsauswahl kann auch die Gefahr einer indirekten Indexierung durch die Hintertür reduzieren, wie man in „How Active is Your Fund Manager?“ von Cremers und Petajisto, publiziert 2009 in der Review of Financial Studies, lesen kann. Die wenigen Arbeiten, die sich mit der optimalen Anzahl von Wertpapieren in einem Portfolio befassen, konzentrieren sich meist auf die Mindestanzahl von Wertpa- pieren, die erforderlich ist, um eine breite Diversifikation zu erreichen und das aktive Risiko zu verringern. So lautet beispielswei- se die bekannte Schlussfolgerung, dass nur einige Dutzend, möglicherweise sogar nur zehn Aktien, ein geringes aktives Risiko im Vergleich zu Benchmarks für die Markt- kapitalisierung erreichen können. Die BlackRock-Forscher wollten aber nicht die minimal benötigte Diversifikation finden, sie untersuchten die optimale Anzahl von Fonds, die erforderlich ist, um ein Portfolio- ziel zu erreichen, wenn die Zahl der Fonds klein sein und ein ausreichend hohes aktives Risiko beibehalten werden soll. Denn jen- seits des optimalen Portfolios beginnt unmit- telbar die Problematik der Überdiversifika- tion, die ebenfalls vermieden werden sollte. „What Free Lunch?“ Dass diese kein zu unterschätzendes Pro- blem sein kann, zeigten Autoren wie das State-Street-Trio Shawn McKay, Robert Shapiro und Ric Thomas. Sie gelangten in „What Free Lunch? The Costs of Over- diversification“ zu dem Resultat, dass es in einem Portfolio zu viele Fonds geben kann, was zu einer Überdiversifikation bezie- hungsweise einem abnehmenden aktiven Risiko führt. In Anbetracht dieser Ergeb- Der Greedy-Knapsack-Algorithmus Von Dieben und Rucksäcken zur Optimierung der Anzahl von Fonds im Portfoliokontext D as Rucksackproblem (Knapsack Problem) ist aus der Kombi- natorik bekannt. Ausgehend von einer Anzahl von Objek- ten, deren Gewicht und Nutzwert bekannt ist, soll jene Kombination gefunden werden, die ein Maximum an Nutzwert liefert, ohne ein vorgegebenes Gesamtgewichtslimit zu über- schreiten. Beispiel Nach erfolgreichem Einbruch steht ein Dieb vor einem gewich- tigen Hindernis, nämlich dem Rucksackproblem: Welche der potenziell mitnehmbaren Diebesgüter, deren Wert und Gewicht er gut abschätzt, kann er in den Rucksack packen, wenn er nur eine Maximallast von 15 kg tragen kann, aber gleichzeitig den Geldwert seiner Beute maximieren will? Die Schwierigkeit dieses Optimierungsproblems nimmt mit der Anzahl der Gegenstände zu, die für den Abtransport in Frage kommen, denn die Zahl der möglichen Kombinationen steigt exponentiell. In der Praxis wird ein Ranking der Objekte nach Profitabili- tätsindex vorgenommen: Dieser besteht hier aus dem Quotienten des Werts, dividiert durch die verbrauchte Ressource, das ist in diesem Fall das Gewicht des Diebesgutes. Man wählt möglichst viele Gegenstände aus, beginnend mit jenem, der den höchsten Profitabilitätsindex aufweist. Dies führt bei ganzzahligen Proble- men nicht immer zur optimalen Lösung, ist aber sehr praktikabel. Bei dieser Methodik handelt es sich um einen sogenannten Greedy-Algorithmus. Greedy- oder gierige Algorithmen bilden in der Informatik eine spezielle Klasse von Algorithmen. Sie zeich- nen sich dadurch aus, dass sie schrittweise den Folgezustand auswählen, der zum Zeitpunkt der Wahl den größten Gewinn beziehungsweise das beste Ergebnis (berechnet durch eine Be- wertungsfunktion) verspricht. Greedy-Algorithmen sind oft schnell, lösen viele Probleme aber nicht optimal. Tracking Error vs. Information Ratio Analog stellt sich die gleiche Problematik bei einem Portfolio, das ein gewisses aktives Mindestrisiko (Tracking Error) aufweisen soll, verbunden mit einer positiven Information Ratio. Auch hier startet man mit dem Fonds, der die beste Information Ratio auf- weist, und nimmt dann den zweitbesten hinzu. Um das kombina- torische Problem mathematisch sauber zu lösen, bedient man sich der dynamischen Programmierung. Der Knapsack- oder Rucksack-Algorithmus wurde bereits für andere Arten von Portfolioproblemen vorgeschlagen: So wandte Padyšák 2021 den Knapsack-Algorithmus an, um die ESG- Scores eines Momentum-Portfolios zu erhöhen. Vaezi, Sadjadi, und Makui verwendeten 2019 den Knapsack-Algorithmus, um die Herausforderung zu bewältigen, die sich daraus ergibt, dass der Anteil hochpreisiger Aktien im Rahmen der Mean-Variance- Optimierung nicht stetig ist. Nach dem Wissensstand von Andrew Ang, Ananth Madhavan und Jason Ribando ist ihre Arbeit die erste, die diese Art von Algorithmus für die optimale Managerauswahl verwendet. Illustration des Rucksack-Problems Der Dieb, seine Beute, deren Wert und die beschränkte Tragekapazität Im konkreten Fall besteht die Lösung für den Dieb darin, alle Gegenstände mit Ausnahme des schwersten in den Rucksack zu packen. Quelle: Wikipedia ? 2$ 1 kg 2$ 2 kg 1$ 1 kg 10$ 4 kg 192 N o. 1/2022 | www.institutional-money.com P R O D U K T E & S T R AT E G I E N | D I VERS I F I KAT I ON FOTO: © ALFMALER | STOCK.ADOBE.COM