Institutional Money, Ausgabe 2 | 2020

quantifiziert somit den Betrag an Aktien- anteilen der ge- beziehungsweise verkauft werden muss, um die Option mit der je- weils zugrunde liegenden Anlage zu repli- zieren. Aus der Options-Replizierungsfor- mel ist ersichtlich, dass die Aktienmarkt- allokation mit zunehmendem Wert des Ak- tienmarktes steigt. Die Grafik „Prozyklik“ zeigt diesen Effekt für das obige Zahlenbei- spiel. Aus der Grafik ist auch ersichtlich, dass die Sensitivität mit einer abnehmenden Restlaufzeit ansteigt. Best of Two – die Theorie Die Mathematik des Konzepts A ls Ausgangsbasis betrachtet man zwei risikobehaftete Anlagen A und B – zum Beispiel den Aktien- und den Bondmarkt. Der Investor möchte am Ende des Anlagehorizonts – beispielsweise ein Jahr – die Rendite des besser gelaufe- nen Marktes vereinnahmen, ohne dabei im Voraus zu wissen, welcher der beiden Märkte die bessere Rendite abwerfen wird. Hierzu erwirbt er einen Markt – etwa den Bondmarkt – und eine Austauschoption, die ihn berechtigt, am Jahresende den Bondmarkt gegen den Aktienmarkt zu tauschen. Dies wird der Investor nur dann tun, wenn der Aktienmarkt besser per- formt hat als der Bondmarkt. Ist dies nicht der Fall, dann hat der Investor mit dem Bondmarkt bereits den besseren Markt, er wird die Austauschoption daher verfallen lassen. Da man unter realistischen Annah- men die Option ausschließlich am Ende des Anlagehorizonts (zum Beispiel ein Jahr) ausüben wird, handelt es sich hier- bei um den klassischen Fall einer europäi- schen Option. Bestimmung der „echten“ Optionskosten Der Preis der Austauschoption C(t) lässt sich mithilfe der Formel von Margrabe (1978) zum aktuellen Betrachtungszeit- punkt t wie folgt bestimmen: mit: A(t) und B(t) sind die Marktwerte der beiden Anlagen zum Zeitpunkt t. N(d1) und N(d2) repräsentieren die Werte der kumulierten Normalverteilung an den Stel- len d1 und d2. σ A–B ist die sogenannte Spreadvolatilität. Diese lässt sich berech- nen aus der Volatilität der Anlage A ( σ A), der Volatilität der Anlage B ( σ B) sowie der Korrelation zwischen beiden Anlagen ( ρ A,B). Das folgende Zahlenbeispiel zeigt die Berechnung des Werts einer Aus- tauschoption (siehe „Zahlenbeispiel 1“): In diesem Zahlenbeispiel sei weiter un- terstellt, dass Aktien am Jahresende eine Rendite von 25 % aufweisen (A(T) = 125) und Bonds mit 5 % rentieren (B(T) = 105). Aufgrund der Optionskosten von 4,17 Euro hätte man allerdings keine 100 % investieren können, sondern nur (100/104,17) 96 %. In diesem Fall einer reinen Optionsumsetzung hätte sich dann eine Rendite von 20 % (also 96 * (1+0,25)) ergeben. Sensitivitätsanalysen Auf Basis des vorange- gangenen Zahlenbeispiels kann man einige Szenario- analysen durchführen (siehe „Zahlenbeispiel 2“). Im Vergleich zum Basis- szenario (0) wird im Szena- rio 1 die Restlaufzeit der Option von einem Jahr auf ein halbes Jahr reduziert. Mit dieser kürzeren Rest- laufzeit fällt der Wert der Option von 4,17 auf 2,95, da beide Anlagen nach wie vor den gleichen Marktwert von 100 aufwei- sen (Theta der Option). Verfügen beide Anlagen am Fälligkeitstermin der Option über den gleichen Wert, so ist der Wert einer Option, die zum Austausch des einen Assets gegen das andere berechtigt, naheliegenderweise null. Bei identischen Werten der beiden Assets sinkt somit der Optionswert mit abnehmender Restlauf- zeit. Sollte hingegen der Wert der Aus- tauschanlage A zum gleichen Zeitpunkt bei 120 liegen (Szenario 2), dann steigt der Wert der Option von 4,17 auf 20,02 (Delta der Option). Die Option, die Basis- anlage B mit einem Wert von 100 gegen die Anlage A mit einem Wert von 120 zu tauschen, wird somit wertvoller. Sollte das Gegenteil der Fall sein – Anlage B ist mit einem Wert von 120 wertvoller (Szenario 3) –, dann notiert die Austauschoption bei einem Wert von 0,02. Je höher die Spread- volatilität ist, desto höher ist auch der Wert der Austauschoption (Vega der Option). Wenn z. B. die Spreadvolatilität von 10,46 % (Szenario 0) auf 25 % (Szenario 4) steigt, dann erhöht sich der Optionswert von 4,17 auf 9,95. Je höher die Spread- volatilität, desto höher ist der Wert der Austauschoption. Zahlenbeispiel 1 zur Berechnung des Werts einer Austauschoption Zahlenbeispiel: A(0) 100 σ A 16 % B(0) 100 σ B 11 % T – t0 1 ρ A,B 0,76 Berechnung des Optionspreises: σ A,B 10,46 % d1 0,0523 d2 -0,0523 N(d1) 0,5208 N(d2) 0,4791 Der Wert der Austauschoption lässt sich anhand der Formeln ermitteln. Quelle: Dichtl/ Drobetz Zahlenbeispiel 2 zur Szenarioanalyse Szenario T – t A(T – t) B(T – t) σ A,B C(T – t) 0 (Basis) 1 100 100 10,46 % 4,17 1 0,5 100 100 10,46 % 2,95 2 0,5 120 100 10,46 % 20,02 3 0,5 100 120 10,46 % 0,02 4 1 100 100 25,00 % 9,95 Der Wert der Austauschoption verändert sich beträchtlich, wenn Para- meter (Zeithorizont, Spreadvolatilität) geändert werden. Quelle: Dichtl/Drobetz Wert der Austauschoption: C(0) = 4,17 76 N o. 2/2020 | www.institutional-money.com T H E O R I E & P R A X I S : BE S T OF TWO