Institutional Money, Ausgabe 4 | 2019

bination bringt also einen deutlichen Erklä- rungszuwachs. Nimmt man den Size-Faktor als zusätzliche Erklärungsvariable hinzu, würde man nur mehr eine geringfügige Erhöhung des Bestimmtheitskoeffizienten von 84,69 Prozent auf 86,67 Prozent erzie- len. Nähme man Mean Reversion dazu, er- gäbe sich bei R² überhaupt keine Verbesse- rung mehr. Für Dr. Berghorn steht fest: „Unsere alternative Sichtweise hat mindes- tens das gleiche Niveau wie das Capital Asset Pricing Modell.“ Märkte scheinen also Trends zu sein. Modellierung des Marktregimes Diese Sichtweise führt zwangsläufig zu der Frage, ob in bestimmten Marktphasen Investmentstile dominieren und dann „Out- performance“ generieren. Zurückgehend auf das eingangs erwähnte generische Momen- tum haben Berghorn und Co. dann Markt- phasen nach Aufwärts- und Abwärtstrends sowie Korrekturen von Abwärtstrends einge- teilt. In diesen Marktphasen werden dann die verschiedenen Strategien gegeneinander getestet. In Abwärtsmärkten wird aus- schließlich auf Low Volatility gesetzt, wäh- rend in Aufwärtsmärkten die Autoren Mo- mentum gegen Low Volatility testen und dann denjenigen Faktor im nächsten Monat einsetzen, der die beste Einmonatsperfor- mance aufwies. In Abwärtsmärkten mit Kor- rektur testen die Autoren dann Momentum gegen Value – wieder wird der Gewinner aus dem letzten Monat im nächsten Monat eingesetzt. Was eigentlich immer erwartet wird, ist, dass zumindest in Aufwärtstrends Momentum der stärkste risikoadjustierte Renditetreiber ist. Und genau das ist es nicht, denn über weite Strecken ist Low einen Einjahrestrend gibt: „Nein“ lautet hier die bestimmte Antwort des Mathematikers. Random Walk: ja oder nein? Historisch gab es schon viele Arbeiten, die sich mit der Frage befasst haben, ob Marktdaten Random Walks folgen, so Berghorn. „Und auch damals schon wur- den signaltheoretische Modelle getestet, die über die sogenannte Fouriertransfor- mation geprüft haben, ob es serielle Kor- relationen gibt. Wenn man einen Über- sichtsartikel hierzu von Fama 1995 („Ran- dom Walks in Stock Market Prices“) ganz genau nimmt, dann konnte man damals schon Hinweise darauf finden, dass die Zeitskala bei der Bewer- tung, ob effiziente Märkte vorlie- gen, eine zentrale Rolle ein- nimmt.“ Und so ist es nicht ver- wunderlich, dass das Autorentrio diese Diskussion auf die Analyse von Trends übertragen kann und Klarheit in dieser Diskussion schafft. Zentral ist hierbei das Maß der Trendlängen. So kann man sich fragen, wie lang eigent- lich die Trends bei Marktdaten sind. Fraktale Märkte erfordern dabei eine Analyse über verschie- dene Skalen, und so messen Berghorn und Co. pro vorge- gebener Wavelet-Skala, wie lang die Trends an Börsentagen pro Aktie sind. Das Ganze wird dann über alle Aktien des Marktes gemittelt und pro Wa- velet-Skala abgetragen. Analog hierzu wer- den genauso reine Random Walks (geo- metrische Brown’sche Bewegung) sowie die Verallgemeinerung von Mandelbrot (ge- brochene Brown’sche Bewegung) analy- siert. Das Ergebnis überrascht vor dem Hintergrund der ursprünglichen Tests dann nicht wirklich (siehe Grafik „Random Walk versus realem Aktienmarkt“) : Je gröber die Analyse der Trends, desto mehr nimmt die Länge dieser Trends zu. Das gilt für die Zufallsprozesse und auch die Marktdaten. Aber der Abstand – also die Überlänge der Trends der Marktdaten im Vergleich zu den Modellen – nimmt ebenso zu. Schon bei einer Skala von 64 sind Marktdaten im Trendverhalten 21 Börsentage länger, als die theoretischen Modelle es vorgeben würden. „Das ist die eine Seite der Medail- le. Aber die Trendlängen sind auch noch im Mandelbrot’schen Sinne wilder, das heißt, die Streuung ist viel breiter – wir haben schon oft darauf hingewiesen, dass es sehr lange Trends in Marktdaten gibt, die man theoretisch über die Modelle nicht erfassen kann. Was allerdings eine Über- raschung darstellt, ist, dass Mandelbrots Verallgemeinerung der gebrochenen Brown’schen Bewegung sich vor dem Hintergrund der Trendlän- gen wie ein klassischer Random Walk verhält“, so Berghorn. Effizienz höchstens auf kurze Sicht Mit dieser Analyse finden die Autoren auch eine Antwort auf die Frage, ob Märkte effizient sind. „Höchstens bei extrem kur- zen Zeiträumen kann man Märk- te als effizient annehmen. Weitet man das Zeitfenster der Analyse nur ein wenig aus, dann werden sie ineffizient“, so Berghorn. Nun ist klar, dass Investoren mit lan- gen Investmentzeiträumen von ineffizienten Märkten ausgehen sollten. Random Walk versus realen Aktienmarkt Durchschnitte von Trendlängen im Vergleich Je größer die Analyse der Trends, desto mehr nimmt die Länge dieser Trends zu. Der Abstand – die Überlänge der Trends der Marktdaten im Vergleich zu den Modellen – nimmt aber ebenso zu. Der Markt hat also offensichtlich ein Gedächtnis. Quelle: Dr. Wilhelm Berghorn 0 50 100 150 200 250 300 64 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 1 Durchschnitt Aktienmarkt Durchschnitt geometrische Brownsche Bewegung Durchschnitt gebrochene Brownsche Bewegung y = 4,739x - 1,6001 R² = 0,9997 Handelstage Wavelet Skala  » Wir können gleich mehrfach belegen, dass Märkte nicht effizient sind. « Dr. Wilhelm Berghorn, Gründer und Geschäftsführer Mandelbrot Asset Management FOTO : © MANDE L B ROT A S S E T MANAGEMENT 110 N o. 4/2019 | www.institutional-money.com T H E O R I E & P R A X I S : MANDE L BROT-T R ENDS